Das Trägheitsmoment ist eine physikalische Größe, die angibt, wie „leicht“ sich ein rotierender Körper in Bewegung versetzen lässt und wie „leicht“ er zum Stillstand gebracht werden kann; es ist ein wesentlicher Faktor bei der Auslegung von Motoren. Bei der Auswahl eines Motors ist es erforderlich, das Trägheitsmoment der Last korrekt zu berechnen und das erforderliche Drehmoment sowie die Beschleunigungs- und Verzögerungseigenschaften abzuschätzen.
Eine fehlerhafte Schätzung des Trägheitsmoments kann je nach Motortyp und Betriebsbedingungen zu Überschwingen oder Unterschwingen beim Anlaufen und Stoppen, zu einer Instabilität der Regelung oder sogar zu einem Betriebsausfall führen.
In diesem Artikel erläutern wir Schritt für Schritt die grundlegende Definition des Trägheitsmoments und die Zusammenhänge mit dem Drehmoment, gehen auf die Berechnungsformeln für typische Geometrien ein und zeigen Ihnen schließlich, welche Punkte bei der Auswahl eines Motors zu berücksichtigen sind. Wir würden uns freuen, wenn dieser Artikel Ingenieuren, die im Bereich der Motorkonstruktion und Geräteentwicklung tätig sind, als Hilfestellung dienen könnte.
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Grundlagen des Trägheitsmoments und der Zusammenhang mit dem Drehmoment
Wir erläutern die Definition, die Zusammenhänge und die Einheiten des Trägheitsmoments und stellen dabei einen Vergleich zur geradlinigen Bewegung her.
Inhalt dieses Abschnitts
- Definition des Trägheitsmoments bei einer Drehbewegung
- Die Gleichung für den Zusammenhang zwischen Drehmoment und Winkelbeschleunigung
- Der Unterschied zwischen den Einheiten kg·m² und GD²
Das Trägheitsmoment J (in der Fachliteratur wird es manchmal auch mit I bezeichnet, in diesem Artikel wird jedoch durchgehend J verwendet) ist eine physikalische Größe, die angibt, wie schwer es ist, einen rotierenden Körper in Drehung zu versetzen oder zum Stillstand zu bringen. Es entspricht der Masse bei geradliniger Bewegung und wird bei Drehbewegungen durch die Beziehung zwischen Trägheitsmoment, Drehmoment und Winkelbeschleunigung beschrieben.
Bei der Auslegung von Motoren bildet die genaue Ermittlung dieses Wertes die Grundlage für die Berechnung des erforderlichen Drehmoments und die Auswahl eines geeigneten Motors.
Definition des Trägheitsmoments bei einer Drehbewegung
Das Trägheitsmoment bei einer Drehbewegung wird als Summe des Produkts aus der Masse M jedes Teilchens und dem Quadrat seines Abstands R von der Drehachse definiert. Die Grundformel lautet J = MR², und selbst bei gleicher Masse M nimmt der Wert zu, je weiter die Masse von der Drehachse entfernt konzentriert ist.
Bei der geradlinigen Bewegung gilt die Eigenschaft: „Je größer die Masse, desto schwieriger ist es, den Körper in Bewegung zu versetzen.“ Bei der Drehbewegung übernimmt das Trägheitsmoment dieselbe Funktion.Je größer das Trägheitsmoment eines rotierenden Körpers ist, desto größeres Drehmoment ist zum Starten oder Anhalten der Rotation erforderlich. Bei einem System aus Teilmassen wird dies durch J = ΣMiRi² ausgedrückt, bei einem Kontinuum durch J = ∫R²dm; in der Praxis werden jedoch üblicherweise vorab abgeleitete Formeln für die jeweiligen Geometrien verwendet.
Je weiter die Masse von der Drehachse entfernt ist, desto größer ist das Trägheitsmoment. Wenn beispielsweise der Durchmesser einer Scheibe mit gleicher Masse verdoppelt wird, vervierfacht sich das Trägheitsmoment.
Bei der geradlinigen Bewegung gilt die Eigenschaft, dass sich Objekte umso schwerer bewegen lassen, je größer ihre Masse ist; bei der Drehbewegung hingegen bestimmt das Trägheitsmoment, wie schwer sich das Objekt drehen lässt. Bei der Auswahl eines Motors bildet die korrekte Berechnung des Trägheitsmoments anhand der Form und der Massenverteilung des anzutreibenden Objekts den Ausgangspunkt für die Konstruktion.
Die Gleichung für den Zusammenhang zwischen Drehmoment und Winkelbeschleunigung
Die Beziehung zwischen Drehmoment und Winkelbeschleunigung wird durch die Bewegungsgleichung für eine Drehbewegung ausgedrückt:
T = Jα (T: Drehmoment [N·m], J: Trägheitsmoment [kg·m²], α: Winkelbeschleunigung [rad/s²])
.
Diese Gleichung basiert auf der Bewegungsgleichung für die geradlinige Bewegung
F=Ma
, wobei die Kraft (F) durch das Drehmoment (T), die Masse (M) durch das Trägheitsmoment (J) und die Beschleunigung (a) durch die Winkelbeschleunigung (α) ersetzt wurden.
Aus dieser Gleichung lässt sich ableiten, dass das erforderliche Drehmoment umso größer ist, je größer das Trägheitsmoment ist, um dieselbe Winkelbeschleunigung zu erreichen. Um beispielsweise einen rotierenden Körper mit doppelt so großem Trägheitsmoment in derselben Zeit zu beschleunigen, ist das doppelte Drehmoment erforderlich.
Das Verständnis der Beziehung T = Jα bildet die Grundlage für die Auslegungsberechnungen zur Abschätzung des bei der Beschleunigung und Verzögerung eines Motors erforderlichen Drehmoments. Die korrekte Ermittlung des Trägheitsmoments der Last und die Berechnung des erforderlichen Drehmoments anhand dieser Formel führen zur Auswahl eines geeigneten Motors.
Der Unterschied zwischen den Einheiten kg·m² und GD²
Im Folgenden werden die Unterschiede zwischen den Einheiten kg·m² und GD² erläutert. In technischen Unterlagen zu Motoren wird das Trägheitsmoment mitunter im internationalen Einheitensystem (SI-Einheiten) als J (kg·m²) oder im Gravitations-Einheitensystem als GD² (kgf·m²) angegeben.
| Einheit | kg·m² (Internationales Einheitensystem) | GD² (Gravitationssystem) |
| Zeichen | J | GD² |
| Definitionsformel | J = M × R² | GD² = W × D² |
| Einheit | kg·m² | kgf·m² |
| Umrechnungsbeziehung | J = GD²/4 | GD² = 4J |
| Anwendungsbereiche | Allgemeine technische Unterlagen | Frühere Motorkataloge |
GD² wird auch als „Schwungradeffekt“ bezeichnet und ist eine Einheit, die früher bei der Auslegung von Motoren weit verbreitet war. Heute ist kg·m² nach dem internationalen Einheitensystem der Standard, doch in den Katalogen der Motorhersteller finden sich mitunter beide Angaben nebeneinander.Da eine Verwechslung der Einheiten bei der Auswahl zu einem vierfachen Fehler in den Berechnungsergebnissen führt, ist die korrekte Anwendung der Umrechnungsformel J = GD²/4 erforderlich.
Formeln zur Berechnung des Trägheitsmoments und Verfahren zur Ermittlung je nach Form
Das Trägheitsmoment wird zwar grundsätzlich durch Integration ermittelt, in der Praxis ist es jedoch üblich, für jede Form vorab abgeleitete Formeln zu verwenden.
Inhalt dieses Abschnitts
- Berechnung des Trägheitsmoments von Zylindern und Scheiben
- Berechnung des Trägheitsmoments von Stäben und Quader
- Berechnungsablauf unter Berücksichtigung der Motorwelle einschließlich des Untersetzungsgetriebes
Für typische Rotationskörper wie Zylinder, Scheiben, Stäbe und Quader stehen jeweils eigene Berechnungsformeln zur Verfügung; die Berechnung ist möglich, sofern die Masse, die Abmessungen und die Lage der Drehachse des betreffenden Objekts bekannt sind.
Zudem ist es bei realen Maschinenanlagen wie Förderbändern und Untersetzungsgetrieben erforderlich, die Trägheitsmomente mehrerer rotierender Teile zu summieren und auf die Motorwelle umzurechnen.
Berechnung des Trägheitsmoments von Zylindern und Scheiben
Das Trägheitsmoment von Zylindern und Scheiben wird zur Berechnung von Motorrotoren und zylinderförmigen Bauteilen herangezogen. Sind die Masse M und der Durchmesser D (sowie der Innendurchmesser d) bekannt, lässt es sich anhand der folgenden Formel berechnen.
| Form | Berechnungsformel | Anwendungsbeispiele |
| Vollwandiger Zylinder (Scheibe) | J = 1/8 × M × D² | Rotor, Schwungrad |
| Hohlzylinder | J = 1/8 × M × (D² + d²) | Kupplungen, Rohre |
Als Rechenbeispiel ergibt sich für ein hohles, zylinderförmiges Bauteil mit einer Masse M = 0,5 kg, einem Außendurchmesser D = 60 mm (0,06 m) und einem Innendurchmesser d = 30 mm (0,03 m) folgender Wert: J = 1/8 × 0,5 × (0,06² + 0,03²)= 1/8 × 0,5 × 0,0045 ≈ 2,8 × 10⁻⁴ kg·m².
Diese Formeln werden zur Berechnung des Trägheitsmoments von zylindrischen Bauteilen wie Rotoren und Kupplungen verwendet.
Berechnung des Trägheitsmoments von Stäben und Quader
Das Trägheitsmoment von Stäben und Quader ist erforderlich, um stabförmige oder quaderförmige Bauteile, wie beispielsweise Arme oder Schieber, die in Drehmechanismen enthalten sind, zu berechnen. Das Trägheitsmoment eines Stabs ändert sich je nach Lage der Drehachse, weshalb die beiden folgenden Formeln je nach Fall unterschiedlich anzuwenden sind.
[Formel für das Trägheitsmoment eines Stabes]
- Bei einer Drehachse am Rand: J = 1/3 × M × L²
- Bei einer Drehachse im Zentrum: J = 1/12 × M × L²
Wenn die Kante als Drehachse herangezogen wird, ist der Wert viermal so groß. In Fällen, in denen der Drehpunkt und der Schwerpunkt des Bauteils voneinander abweichen – wie beispielsweise bei den Gelenken eines Roboterarms –, muss die entsprechende Formel erst ausgewählt werden, nachdem genau ermittelt wurde, wo die Drehachse des Mechanismus festgelegt ist.
Berechnungsverfahren unter Berücksichtigung der Motorwelle einschließlich des Untersetzungsgetriebes
Die Berechnung auf Basis der Motorwelle unter Einbeziehung des Untersetzungsgetriebes ist bei mechanischen Systemen erforderlich, bei denen zwischen Motor und Last ein Untersetzungsgetriebe geschaltet ist.Die Formel zur Umrechnung des Trägheitsmoments der Last auf die Motorwelle lautet Jm = JL/i² (Jm: auf die Motorwelle umgerechnetes Trägheitsmoment der Last, JL: Trägheitsmoment der Last, i: Untersetzungsverhältnis).
Beträgt beispielsweise das Trägheitsmoment der Last 1,0 × 10⁻³ kg·m² und das Untersetzungsverhältnis 2, so beträgt der auf die Motorwelle umgerechnete Wert Jm = 1,0 × 10⁻³ / 4 = 2,5 × 10⁻⁴ kg·m².Bei einem Untersetzungsverhältnis von 2 beträgt der auf die Motorwelle umgerechnete Wert des Lastträgheitsmoments ein Viertel des Wertes auf der Lastseite.Da die Definition des Untersetzungsverhältnisses i je nach Hersteller variiert, stellen sowohl Jm = JL / i² als auch Jm = JL × i² denselben Sachverhalt in unterschiedlicher Darstellung dar. Es ist daher auf die jeweilige Definition des Untersetzungsverhältnisses i zu achten.
Die Angabe des Untersetzungsverhältnisses muss in den jeweiligen Katalogen überprüft werden, und es müssen die von den einzelnen Herstellern angegebenen Definitionen bei der Anwendung der Umrechnungsformel berücksichtigt werden.
Drei Schritte zur Motorauswahl unter Berücksichtigung des Trägheitsmoments
Nachdem der Wert des Trägheitsmoments korrekt berechnet wurde, folgt der Schritt der Motorauswahl auf der Grundlage dieses Wertes.
Inhalt dieses Abschnitts
- Berechnung des Trägheitsmoments der Last und des erforderlichen Drehmoments
- Überprüfung des Trägheitsverhältnisses und Gewährleistung der Regelstabilität
- Bewältigung der Lastträgheit durch den Einsatz von Getriebemotoren
Bei der Motorauswahl müssen nacheinander drei Schritte durchgeführt werden: die Berechnung des Lastträgheitsmoments, die Berechnung des erforderlichen Drehmoments sowie die Überprüfung des Trägheitsverhältnisses bzw. des zulässigen Lastträgheitsmoments.Bei einem Betrieb mit variierender Drehzahl müssen neben dem Drehmoment im stationären Betrieb auch die Drehmomente bei Beschleunigung und Verzögerung berücksichtigt werden; daher führt das schrittweise Durchlaufen dieser Schritte zu einer angemessenen Auswahl.
Berechnung des Trägheitsmoments der Last und des erforderlichen Drehmoments
Die Berechnung des Lastträgheitsmoments und des erforderlichen Drehmoments ist der erste Schritt bei der Motorauswahl. Um das Lastträgheitsmoment des gesamten anzutreibenden Mechanismus zu ermitteln, müssen die Trägheitsmomente der einzelnen Mechanismuskomponenten (z. B. Riemenscheiben, Tische) sowie des Transportguts berechnet und addiert werden, um das gesamte Lastträgheitsmoment JL zu ermitteln.
Nachdem das Trägheitsmoment bei Volllast JL ermittelt wurde, berechnen Sie die Winkelbeschleunigung α anhand der Beschleunigungszeit und der Solldrehzahl und ermitteln das Beschleunigungsdrehmoment anhand der Formel T = Jα. Das Gesamtdrehmoment, das vom Motor gefordert wird, ergibt sich aus der Summe des Beschleunigungsdrehmoments und des Lastdrehmoments, das im stationären Betrieb erforderlich ist, wie beispielsweise das Reibungsdrehmoment.Bei einem Betrieb, der Anlaufen und Beschleunigen umfasst, muss das erforderliche Drehmoment unter Berücksichtigung sowohl des Lastdrehmoments als auch des Beschleunigungsdrehmoments berechnet werden.
Überprüfung des Trägheitsverhältnisses und Gewährleistung der Regelstabilität
Das Trägheitsverhältnis ist der Quotient aus dem Trägheitsmoment der Last und dem Trägheitsmoment des Motorrotors. Überschreitet dieses Verhältnis den für den Motor empfohlenen Bereich, kann der Motor den Beschleunigungsbefehlen nicht mehr folgen, was zu einem Aussetzen des Antriebs oder zu Betriebsinstabilität führen kann.
Da sich das empfohlene Trägheitsverhältnis und die zulässige Obergrenze des Trägheitsmoments je nach Motortyp unterscheiden, ist es bei der Auswahl von grundlegender Bedeutung, die in den Katalogen und technischen Unterlagen des jeweiligen Motors angegebenen empfohlenen Werte zu überprüfen und sicherzustellen, dass die Werte innerhalb dieses Bereichs liegen.
Selbst wenn ein ausreichender Spielraum beim Beschleunigungs- und Abbremsmoment vorhanden ist, kann ein Überschreiten des empfohlenen Trägheitsverhältnisses zu einem Verlust der Synchronisation oder zu Betriebsinstabilität führen. Wird der Sicherheitsfaktor hingegen zu hoch angesetzt, führt dies zu einer Überdimensionierung, was hinsichtlich der Motorgröße und der Kosten nachteilig ist. Es ist daher erforderlich, einen für die jeweilige Anwendung geeigneten Bereich auszuwählen.
Bewältigung von Lastträgheit durch den Einsatz von Getriebemotoren
Der Einsatz von Getriebemotoren ist eine wirksame Maßnahme, wenn das Trägheitsmoment der Last den zulässigen Wert des Motors überschreitet.Durch den Einsatz eines Getriebes wird das Trägheitsmoment an der Motorwelle mit dem Quadrat des Untersetzungsverhältnisses reduziert, sodass auch kleine Motoren große Lasten antreiben können. Beträgt das Untersetzungsverhältnis beispielsweise 2, so beträgt das auf die Motorwelle umgerechnete Trägheitsmoment der Last nur noch ein Viertel des Wertes auf der Lastseite.
Da jedoch eine Erhöhung des Untersetzungsverhältnisses zu einer Verringerung der Ausgangsdrehzahl des Motors führt, ist eine Auslegung erforderlich, bei der ein ausgewogenes Verhältnis zur Solldrehzahl berücksichtigt wird. Bei einem hohen Lastträgheitsmoment ist der Einsatz eines Untersetzungsgetriebes ebenfalls eine sinnvolle Option.
Die Produktspezifikationen und Einsatzbedingungen müssen auf den Produktseiten der jeweiligen Hersteller oder bei deren Kundendienst abgeklärt werden. C.I. Takiron bietet Getriebemotoren an, bei denen Getriebeköpfe mit kernlosen Motoren oder bürstenlosen Motoren kombiniert werden, und unterbreitet Ihnen gerne Vorschläge für Konfigurationen, die auf Ihre Anwendungszwecke und Anforderungen zugeschnitten sind.
Zusammenfassung
Das Trägheitsmoment ist eine physikalische Größe, die angibt, wie leicht sich ein rotierender Körper in Bewegung setzen und zum Stillstand bringen lässt; es ist ein Faktor, der bei der Auslegung von Motoren unmittelbar mit der Berechnung des erforderlichen Drehmoments und der Gewährleistung der Regelstabilität zusammenhängt.Von der Verständnis der Grundformel T = Jα über die Anwendung der berechnungsformeln für verschiedene Bauformen bis hin zur Überprüfung des Trägheitsverhältnisses und dem Einsatz von Getriebemotoren ist eine angemessene Motorauswahl möglich, sofern die richtigen Schritte befolgt werden.
Bei Betriebsarten mit variierender Drehzahl nehmen das Beschleunigungs- und das Bremsmoment entsprechend der Größe des Trägheitsmoments zu. Sollten Sie Fragen zur Auslegung oder Auswahl von Motoren unter Berücksichtigung des Trägheitsmoments haben, können Sie sich gerne an C.I. Takiron wenden.
Produktinformationen und Kontakt
Ausführliche Informationen zu den Mikromotoren von C.I. Takiron finden Sie auf der folgenden Website.
- Produktseite: https://cik-ele.com/
- Kernlose Motoren: https://cik-ele.com/products/list/coreless_motor/
- Bürstenloser Motor: https://cik-ele.com/products/list/brushless_motor/
- Getriebemotoren: https://cik-ele.com/products/list/gearhead/
- Encoder: https://cik-ele.com/products/list/encoder/
Sollten Sie bei der Auswahl kleiner Motoren für Ihre Produktentwicklung auf Schwierigkeiten stoßen, können Sie sich gerne über das Kontaktformular an uns wenden. Unsere technischen Berater werden sich mit Ihnen über den Einsatzzweck und die Anforderungen beraten und Ihnen die optimale Lösung vorschlagen.
- Kontakt: https://cik-ele.com/contact/
