El momento de inercia es una magnitud física que indica la «facilidad para hacer girar» o «facilidad para detener» un cuerpo giratorio, y es un elemento imprescindible en los cálculos de diseño de los motores. A la hora de elegir un motor, hay que calcular correctamente el momento de inercia de la carga y estimar el par necesario y las prestaciones de aceleración y desaceleración.
Si calculas mal el momento de inercia, dependiendo del tipo de motor y de las condiciones, puede provocar oscilaciones por encima o por debajo del valor deseado al arrancar o parar, inestabilidad en el control o incluso que el motor no funcione.
En este artículo te explicaremos paso a paso desde la definición básica del momento de inercia y la relación con el par, pasando por las fórmulas de cálculo para las formas más habituales, hasta los aspectos que debes tener en cuenta a la hora de elegir un motor. Esperamos que te sirva de ayuda si eres ingeniero y te dedicas al diseño de motores o al desarrollo de equipos.
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Conceptos básicos sobre el momento de inercia y la relación con el par
Te voy a explicar qué es el momento de inercia, sus fórmulas y sus unidades, comparándolo con el movimiento rectilíneo.
Lo que vamos a explicar en esta sección
- Definición del momento de inercia en el movimiento giratorio
- Fórmula que relaciona el par y la aceleración angular
- La diferencia entre las unidades kg·m² y GD²
El momento de inercia J (en la literatura científica a veces se escribe como I, pero en este artículo lo unificaremos como J) es una magnitud física que indica lo difícil que resulta hacer girar un cuerpo giratorio o detenerlo. Equivale a la masa en el movimiento rectilíneo y, en el movimiento giratorio, se describe mediante la relación que vincula el momento de inercia con el par y la aceleración angular.
En los cálculos de diseño de motores, conocer este valor con exactitud es el punto de partida para calcular el par necesario y elegir el motor adecuado.
Definición del momento de inercia en el movimiento rotatorio
El momento de inercia en un movimiento giratorio se define como la suma del producto de la masa M de cada partícula por el cuadrado de su distancia R al eje de rotación. La fórmula básica es J = MR², y aunque la masa M sea la misma, cuanto más lejos del eje de rotación se concentren las masas, mayor será el valor.
En el movimiento rectilíneo se da la propiedad de que «cuanto mayor es la masa, más difícil es moverla», pero en el movimiento giratorio es el momento de inercia el que desempeña ese papel.Cuanto mayor es el momento de inercia de un cuerpo giratorio, más par de giro se necesita para ponerlo en movimiento o detenerlo. En un sistema de partículas, se expresa como J = ΣMiRi², y en un continuo, como J = ∫R²dm, aunque en la práctica lo habitual es usar fórmulas ya derivadas para cada tipo de forma.
Cuanto más lejos del eje de rotación se concentre la masa, mayor será el momento de inercia. Por ejemplo, si un disco tiene la misma masa pero el doble de diámetro, su momento de inercia será cuatro veces mayor.
En el movimiento lineal, se da la propiedad de que «cuanto mayor es la masa, más difícil es moverla», pero en el movimiento rotatorio es el momento de inercia el que determina la dificultad para girarlo. A la hora de elegir un motor, el punto de partida del diseño es calcular correctamente el momento de inercia a partir de la forma y la distribución de la masa del objeto que se va a accionar.
Fórmula que relaciona el par y la aceleración angular
La relación entre el par y la aceleración angular viene dada por la ecuación de movimiento de rotación:
T = Jα (T: par [N·m]; J: momento de inercia [kg·m²]; α: aceleración angular [rad/s²])
.
Se trata de una ecuación en la que, partiendo de la ecuación de movimiento lineal
F=Ma
, se sustituye la fuerza (F) por el par (T), la masa (M) por el momento de inercia (J) y la aceleración (a) por la aceleración angular (α).
A partir de esta ecuación, se ve que cuanto mayor es el momento de inercia, mayor es el par necesario para conseguir la misma aceleración angular. Por ejemplo, para acelerar en el mismo tiempo un cuerpo giratorio con el doble de momento de inercia, se necesita el doble de par.
Para calcular el par necesario durante la aceleración y la desaceleración del motor, entender la relación T = Jα es fundamental en los cálculos de diseño. Conocer bien el momento de inercia de la carga y calcular el par necesario con esta fórmula te ayudará a elegir el motor adecuado.
La diferencia entre la unidad kg·m² y GD²
Vamos a aclarar la diferencia entre las unidades kg·m² y GD². En la documentación técnica de los motores, el momento de inercia se suele expresar en J (kg·m²), del sistema internacional de unidades (SI), o en GD² (kgf·m²), del sistema de unidades de gravedad.
| Concepto | kg·m² (Sistema Internacional de Unidades) | GD² (sistema de unidades gravitatorias) |
| Símbolo | J | GD² |
| Fórmula | J = M × R² | GD² = W × D² |
| Unidad | kg·m² | kgf·m² |
| Relación de conversión | J = GD²/4 | GD² = 4J |
| Situaciones de uso | Documentación técnica general actual | Catálogos de motores antiguos |
GD² se conoce también como «efecto de volante» y es una unidad que antes se usaba mucho en los cálculos de diseño de motores. Aunque hoy en día la norma es el kg·m² del Sistema Internacional de Unidades, en los catálogos de los fabricantes de motores a veces aparecen ambas unidades mezcladas.Si te equivocas de unidad al elegirla, se produce un error cuatro veces mayor en los resultados de los cálculos, por lo que es importante aplicar correctamente la fórmula de conversión J = GD²/4.
Fórmula para calcular el momento de inercia y cómo calcularlo según la forma
Aunque el momento de inercia se calcula normalmente mediante una integral, en la práctica lo habitual es usar fórmulas ya derivadas para cada forma.
Lo que vamos a explicar en esta sección
- Cálculo del momento de inercia de un cilindro y un disco
- Cálculo del momento de inercia de una barra y un paralelepípedo
- Procedimiento de cálculo equivalente al eje del motor, incluyendo el mecanismo de reducción de velocidad
Para los cuerpos giratorios más comunes, como los cilindros, los discos, las barras y los paralelepípedos, hay fórmulas específicas, y puedes calcularlos si conoces la masa, las dimensiones y la posición del eje de rotación del objeto en cuestión.
Además, en sistemas mecánicos reales, como las cintas transportadoras o los mecanismos reductores, también hay que sumar los momentos de inercia de varios elementos giratorios y convertirlos al eje del motor.
Cálculo del momento de inercia de un cilindro y un disco
El momento de inercia de un cilindro y de un disco se utiliza para calcular cosas como el rotor de un motor o piezas de forma cilíndrica. Si conoces la masa M y el diámetro D (y el diámetro interior d), puedes calcularlo con la siguiente fórmula.
| Forma | Fórmula | Ejemplos de aplicación |
| Cilindro macizo (disco) | J = 1/8 × M × D² | Rotor, volante |
| Cilindro hueco | J = 1/8 × M × (D² + d²) | Acoplamientos, tuberías |
A modo de ejemplo de cálculo, para una pieza cilíndrica hueca con una masa M = 0,5 kg, un diámetro exterior D = 60 mm (0,06 m) y un diámetro interior d = 30 mm (0,03 m), se obtiene que J = 1/8 × 0,5 × (0,06² + 0,03²)= 1/8 × 0,5 × 0,0045 ≒ 2,8 × 10⁻⁴ kg·m².
Estas fórmulas se utilizan para calcular el momento de inercia de piezas de forma cilíndrica, como rotores o acoplamientos.
Cálculo del momento de inercia de una barra y un paralelepípedo
El momento de inercia de una barra o un paralelepípedo es necesario para calcular componentes con forma de barra o paralelepípedo que forman parte de mecanismos giratorios, como brazos o deslizadores. El momento de inercia de una barra varía según la posición del eje de rotación, por lo que hay que usar las dos fórmulas siguientes según el caso.
[Fórmula del momento de inercia de una barra]
- Si tomamos el extremo como eje de rotación: J = 1/3 × M × L²
- Si tomamos el centro como eje de rotación: J = 1/12 × M × L²
Si se toma el extremo como eje, el valor es cuatro veces mayor. En casos en los que el centro de rotación y el centro de gravedad de la pieza no coinciden, como en las articulaciones de un brazo robótico, hay que saber exactamente dónde está situado el eje de rotación del mecanismo para elegir la fórmula adecuada.
Procedimiento de cálculo equivalente al eje del motor, incluyendo el mecanismo de reducción de velocidad
El cálculo del eje del motor, que incluye el mecanismo reductor, es necesario en los sistemas mecánicos en los que hay un reductor entre el motor y la carga.La fórmula para convertir el momento de inercia de la carga al eje del motor es Jm = JL/i² (Jm: momento de inercia de la carga convertido al eje del motor; JL: momento de inercia de la carga; i: relación de reducción).
Por ejemplo, si el momento de inercia de la carga es de 1,0 × 10⁻³ kg·m² y la relación de reducción es de 2, el valor equivalente al eje del motor es Jm = 1,0 × 10⁻³ / 4 = 2,5 × 10⁻⁴ kg·m².Cuando la relación de reducción es 2, el valor del momento de inercia de la carga, convertido al eje del motor, es 1/4 del valor del lado de la carga.Por cierto, como la definición de la relación de reducción i varía según el fabricante, tanto Jm = JL / i² como Jm = JL × i² son dos formas diferentes de expresar lo mismo. Hay que tener cuidado con la referencia utilizada para la relación de reducción i.
Hay que comprobar la indicación de la relación de reducción en cada catálogo y aplicar la fórmula de conversión según la definición que dé cada fabricante.
Tres pasos para elegir un motor teniendo en cuenta el momento de inercia
Una vez que hayas calculado correctamente el valor del momento de inercia, pasarás a la fase de selección del motor basándote en ese valor.
Lo que vamos a explicar en esta sección
- Cálculo del momento de inercia de la carga y del par necesario
- Comprobación de la relación de inercia y garantía de la estabilidad de control
- Cómo hacer frente a la inercia de la carga mediante el uso de motorreductores
A la hora de elegir un motor, hay que seguir estos tres pasos en orden: calcular el momento de inercia de la carga, calcular el par necesario y comprobar la relación de inercia o el momento de inercia admisible de la carga.En el funcionamiento con cambios de velocidad, además del par en régimen estable, hay que tener en cuenta el par asociado a la aceleración y la desaceleración, por lo que seguir estos pasos uno por uno te ayudará a elegir el motor adecuado.
Cálculo del momento de inercia de la carga y del par necesario
Calcular el momento de inercia de la carga y el par necesario es el primer paso para elegir un motor. Para hallar el momento de inercia total de la carga del mecanismo que se va a accionar, hay que calcular los momentos de inercia de cada uno de los componentes del mecanismo (poleas, mesas, etc.) y de la carga que se va a transportar, y sumarlos para obtener el momento de inercia total de la carga, JL.
Una vez calculado el momento de inercia a plena carga JL, se calcula la aceleración angular α a partir del tiempo de aceleración y el régimen objetivo, y se determina el par de aceleración mediante la fórmula T = Jα. El par total que debe soportar el motor es la suma del par de aceleración y los pares de carga necesarios durante el funcionamiento en régimen estable, como el par de fricción.En el funcionamiento que implica arranque y aceleración, hay que tener en cuenta tanto el par de carga como el par de aceleración a la hora de calcular el par necesario.
Comprobación de la relación de inercia y garantía de la estabilidad del control
La relación de inercia es el valor que se obtiene al dividir el momento de inercia de la carga entre el momento de inercia del rotor del motor. Si esta relación supera el rango recomendado para el motor, es posible que no pueda seguir las órdenes de aceleración, lo que puede provocar pérdidas de sincronización o un funcionamiento inestable.
Como la relación de inercia recomendada y el límite máximo del momento de inercia admisible varían según el tipo de motor, lo básico a la hora de elegir uno es consultar los valores recomendados que aparecen en el catálogo o la documentación técnica del motor que vayas a usar y asegurarte de que te mantienes dentro de esos límites.
Aunque haya margen en el par de aceleración y desaceleración, si el coeficiente de inercia supera el rango recomendado, puede provocar desajustes o inestabilidad en el funcionamiento. Por otro lado, si el factor de seguridad se fija en un valor excesivamente alto, se produce una sobredimensionamiento, lo que resulta desfavorable en cuanto al tamaño del motor y al coste. Por eso, hay que elegir el rango adecuado según la aplicación.
Cómo hacer frente a la inercia de la carga mediante el uso de motorreductores
El uso de motores reductores es una buena solución cuando el momento de inercia de la carga supera el límite del motor.Al utilizar un reductor, el momento de inercia en el eje del motor se reduce en la segunda potencia de la relación de reducción, por lo que incluso un motor pequeño puede accionar cargas pesadas. Por ejemplo, si la relación de reducción es 2, el momento de inercia de la carga, calculado en el eje del motor, será 1/4 del de la carga original.
Sin embargo, como al aumentar la relación de reducción disminuye el régimen de salida del motor, hay que diseñar teniendo en cuenta el equilibrio con el régimen deseado. Si el momento de inercia de la carga es elevado, otra opción válida es combinar un mecanismo reductor.
Las especificaciones del producto y las condiciones de uso deben consultarse en las páginas web de cada fabricante o a través de su servicio de atención al cliente. En C.I. Takiron ofrecemos motores con engranajes que combinan motores sin núcleo o sin escobillas con un reductor, y también te ayudamos a diseñar configuraciones que se adapten a tus aplicaciones y requisitos.
Resumen
El momento de inercia es una magnitud física que indica la facilidad con la que un cuerpo giratorio se pone en marcha y se detiene, y es un factor que influye directamente en el cálculo del par necesario y en la garantía de la estabilidad del control durante el diseño de un motor.Si sigues los pasos correctos, desde entender la fórmula básica T = Jα hasta aplicar las fórmulas de cálculo según la forma, pasando por comprobar la relación de inercia y utilizar motores con engranajes, podrás elegir el motor adecuado.
En los modos de funcionamiento en los que varía la velocidad de rotación, el par de aceleración y el par de desaceleración aumentan en función del momento de inercia. Si tienes dudas sobre el diseño o la selección de motores teniendo en cuenta el momento de inercia, no dudes en ponerte en contacto con C.I. Takiron.
Información sobre productos y consultas
Puedes consultar más detalles sobre los micromotores de C.I. Takiron en la siguiente página web.
- Página web del producto: https://cik-ele.com/
- Motores sin núcleo: https://cik-ele.com/products/list/coreless_motor/
- Motores sin escobillas: https://cik-ele.com/products/list/brushless_motor/
- Motorreductor: https://cik-ele.com/products/list/gearhead/
- Codificador: https://cik-ele.com/products/list/encoder/
Si tienes alguna duda a la hora de elegir un motor pequeño para el desarrollo de tus productos, no dudes en ponerte en contacto con nosotros a través del formulario de consulta. Nuestro equipo técnico analizará el uso y los requisitos que necesitas y te propondrá la solución más adecuada.
- Consultas: https://cik-ele.com/contact/
