Le moment d’inertie est une grandeur physique qui caractérise la « facilité à mettre en rotation » ou à « arrêter » un corps en rotation ; il s’agit d’un élément indispensable aux calculs de conception d’un moteur. Lors du choix d’un moteur, il est nécessaire de calculer correctement le moment d’inertie de la charge et d’estimer le couple requis ainsi que les performances d’accélération et de décélération.
Une estimation erronée du moment d’inertie peut, selon le type de moteur et les conditions d’utilisation, entraîner des dépassements ou des sous-dépassements lors du démarrage et de l’arrêt, une instabilité de la commande, voire une impossibilité de fonctionnement.
Dans cet article, nous vous expliquons étape par étape la définition fondamentale du moment d’inertie, les relations mathématiques avec le couple, les formules de calcul pour les formes les plus courantes, ainsi que les points à prendre en compte lors du choix d’un moteur. Nous espérons que cet article sera utile aux ingénieurs impliqués dans la conception de moteurs et le développement d’équipements.
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Les principes fondamentaux du moment d’inertie et la relation avec le couple
Nous allons vous expliquer la définition, les relations mathématiques et les unités du moment d’inertie, en les comparant au mouvement rectiligne.
Contenu abordé dans cette section
- Définition du moment d’inertie dans un mouvement de rotation
- Relation entre le couple et l’accélération angulaire
- Différence entre les unités kg·m² et GD²
Le moment d’inertie J (parfois noté I dans la littérature scientifique, mais que nous désignerons systématiquement par J dans le présent article) est une grandeur physique qui indique dans quelle mesure un corps en rotation est difficile à faire tourner ou à arrêter. Il équivaut à la masse dans le cas d’un mouvement rectiligne et, dans le cas d’un mouvement de rotation, il est décrit par une relation mathématique reliant le moment d’inertie au couple et à l’accélération angulaire.
Dans le cadre des calculs de conception d’un moteur, la détermination précise de cette valeur constitue le point de départ pour le calcul du couple nécessaire et le choix d’un moteur adapté.
Définition du moment d’inertie dans un mouvement de rotation
Le moment d’inertie dans un mouvement de rotation est défini comme la somme des produits de la masse M de chaque particule par le carré de sa distance R par rapport à l’axe de rotation. La formule fondamentale s’écrit J = MR², et même si les masses M sont identiques, plus les masses sont concentrées à une position éloignée de l’axe de rotation, plus cette valeur est grande.
Dans le mouvement rectiligne, on observe que « plus la masse est importante, plus il est difficile de la déplacer » ; dans le mouvement de rotation, c’est le moment d’inertie qui joue ce rôle.Plus le moment d’inertie d’un corps en rotation est élevé, plus un couple important est nécessaire pour le mettre en rotation ou l’arrêter. Dans le cas d’un système de particules, il est représenté par J = ΣMiRi², et dans celui d’un continu, par J = ∫R²dm ; toutefois, dans la pratique, on utilise généralement des formules pré-dérivées spécifiques à chaque forme.
Plus la masse est concentrée loin de l’axe de rotation, plus la valeur du moment d’inertie est élevée. Par exemple, pour un disque de même masse, si son diamètre est doublé, son moment d’inertie est quadruplé.
Alors que dans le mouvement rectiligne, on observe que « plus la masse est importante, plus il est difficile de déplacer l’objet », dans le mouvement rotatif, c’est le moment d’inertie qui détermine la difficulté à le faire tourner. Lors du choix d’un moteur, le calcul correct du moment d’inertie, à partir de la forme et de la répartition de la masse de l’élément à entraîner, constitue le point de départ de la conception.
Relation entre le couple et l’accélération angulaire
La relation entre le couple et l’accélération angulaire est exprimée par l’équation du mouvement de rotation :
T = Jα (T : couple [N·m], J : moment d’inertie [kg·m²], α : accélération angulaire [rad/s²])
.
Il s’agit d’une équation dérivée de l’équation du mouvement en ligne droite
F = Ma
, dans laquelle la force (F) a été remplacée par le couple (T), la masse (M) par le moment d’inertie (J) et l’accélération (a) par l’accélération angulaire (α).
Cette formule permet de comprendre que plus le moment d’inertie est élevé, plus le couple nécessaire pour obtenir la même accélération angulaire est important. Par exemple, pour accélérer en un temps donné un corps en rotation dont le moment d’inertie est deux fois plus élevé, il faut un couple deux fois plus important.
La compréhension de la relation T = Jα constitue la base des calculs de conception pour estimer le couple nécessaire lors de l’accélération et de la décélération d’un moteur. Une bonne appréciation du moment d’inertie de la charge, associée à la procédure de calcul du couple nécessaire à l’aide de cette formule, permet de choisir le moteur le plus adapté.
Différence entre les unités kg·m² et GD²
Nous allons clarifier la différence entre les unités kg·m² et GD². Dans la documentation technique relative aux moteurs, le moment d’inertie est parfois exprimé en J (kg·m²), unité du Système international (SI), ou en GD² (kgf·m²), unité du système de gravité.
| Rubrique | kg·m² (Système international d’unités) | GD² (système d’unités gravitationnelles) |
| Symbole | J | GD² |
| Formule de définition | J = M × R² | GD² = W × D² |
| Unité | kg·m² | kgf·m² |
| Relation de conversion | J = GD²/4 | GD² = 4J |
| Contexte d’utilisation | L’ensemble de la documentation technique actuelle | Anciens catalogues de moteurs |
Le GD² est également appelé « effet de volant d’inertie » ; il s’agit d’une unité autrefois largement utilisée dans les calculs de conception des moteurs. Aujourd’hui, le kg·m² du Système international d’unités (SI) est la norme, mais il arrive que les catalogues des fabricants de moteurs mentionnent les deux unités.Une erreur dans le choix de l’unité lors de la sélection peut entraîner une erreur quadruple dans les résultats de calcul ; il est donc indispensable d’appliquer correctement la formule de conversion J = GD²/4.
Formules de calcul du moment d’inertie et méthodes de détermination en fonction de la forme
Bien que le moment d’inertie soit en principe calculé par intégration, il est courant, dans la pratique, d’utiliser des formules dérivées au préalable pour chaque forme.
Contenu abordé dans cette section
- Calcul du moment d’inertie d’un cylindre et d’un disque
- Calcul du moment d’inertie d’une barre et d’un parallélépipède rectangle
- Procédure de calcul de la vitesse équivalente de l’arbre du moteur, en tenant compte du mécanisme de réduction
Il existe des formules de calcul spécifiques pour les solides de révolution typiques, tels que les cylindres, les disques, les tiges et les parallélépipèdes rectangles ; il suffit de connaître la masse, les dimensions et la position de l’axe de rotation de l’objet concerné pour effectuer le calcul.
Par ailleurs, dans les systèmes mécaniques réels, tels que les convoyeurs à bande ou les mécanismes de réduction, il est également nécessaire de calculer le moment d’inertie total de plusieurs éléments rotatifs et de le convertir en moment d’inertie de l’arbre du moteur.
Calcul du moment d’inertie d’un cylindre et d’un disque
Le moment d’inertie d’un cylindre et d’un disque est utilisé pour le calcul du rotor d’un moteur ou de pièces de forme cylindrique, par exemple. Si l’on connaît la masse M et le diamètre D (ainsi que le diamètre intérieur d), il est possible de le calculer à l’aide de la formule suivante.
| Forme | Formules de calcul | Exemples d’application |
| Cylindre plein (disque) | J = 1/8 × M × D² | Rotor, volant d’inertie |
| Cylindre creux | J = 1/8 × M × (D² + d²) | Raccords, tuyaux |
À titre d’exemple de calcul, pour une pièce de forme cylindrique creuse de masse M = 0,5 kg, de diamètre extérieur D = 60 mm (0,06 m) et de diamètre intérieur d = 30 mm (0,03 m), on obtient J = 1/8 × 0,5 × (0,06² + 0,03²)= 1/8 × 0,5 × 0,0045 ≈ 2,8 × 10⁻⁴ kg·m².
Ces formules sont utilisées pour calculer le moment d’inertie de pièces de forme cylindrique, telles que les rotors ou les accoup lements.
Calcul du moment d’inertie d’une barre et d’un parallélépipède rectangle
Le moment d’inertie d’une tige ou d’un parallélépipède rectangle est nécessaire pour calculer les composants de forme allongée ou parallélépipédique, tels que les bras ou les coulisseaux, qui font partie d’un mécanisme rotatif. La valeur du moment d’inertie d’une tige varie en fonction de la position de l’axe de rotation ; il convient donc d’utiliser l’une ou l’autre des deux formules suivantes.
[Formule du moment d’inertie d’une barre]
- Lorsque l’axe de rotation est situé à l’extrémité : J = 1/3 × M × L²
- Si l’axe de rotation est situé au centre : J = 1/12 × M × L²
Si l’on prend le bord comme axe, la valeur est quatre fois plus élevée. Dans les cas où le centre de rotation et le centre de gravité d’une pièce ne coïncident pas, comme au niveau des articulations d’un bras robotisé, il est nécessaire de déterminer avec précision où est défini l’axe de rotation du mécanisme avant de choisir la formule appropriée.
Procédure de calcul de l’arbre moteur, en tenant compte du mécanisme de réduction
Le calcul de la valeur équivalente sur l’arbre du moteur, incluant le mécanisme de réduction, est nécessaire dans les systèmes mécaniques où un réducteur est intercalé entre le moteur et la charge.La formule permettant de convertir le moment d’inertie de la charge en moment d’inertie sur l’arbre du moteur est la suivante : Jm = JL/i² (Jm : moment d’inertie de la charge converti sur l’arbre du moteur, JL : moment d’inertie de la charge, i : rapport de réduction).
Par exemple, si le moment d’inertie de la charge est de 1,0 × 10⁻³ kg·m² et que le rapport de réduction est de 2, la valeur équivalente à l’arbre du moteur est Jm = 1,0 × 10⁻³ / 4 = 2,5 × 10⁻⁴ kg·m².Lorsque le rapport de réduction est égal à 2, la valeur du moment d’inertie de la charge, convertie à l’arbre du moteur, correspond au quart de celle mesurée côté charge.Par ailleurs, la définition du rapport de réduction i variant selon les fabricants, les formules Jm = JL / i² et Jm = JL × i² expriment toutes deux la même notion sous des formes différentes. Il convient donc de prêter attention à la référence utilisée pour le rapport de réduction i.
Il convient de vérifier la notation du rapport de réduction dans chaque catalogue et d’appliquer la formule de conversion conformément aux définitions fournies par chaque fabricant.
Les trois étapes du choix d’un moteur en tenant compte du moment d’inertie
Une fois que vous avez correctement calculé la valeur du moment d’inertie, vous passez à l’étape consistant à choisir un moteur en fonction de cette valeur.
Contenu abordé dans cette section
- Calcul du moment d’inertie de la charge et du couple nécessaire
- Vérification du rapport d’inertie et garantie de la stabilité de contrôle
- Prise en charge de l’inertie de la charge grâce à l’utilisation de motoréducteurs
Lors du choix d’un moteur, il est nécessaire de suivre successivement les trois étapes suivantes : le calcul du moment d’inertie de la charge, le calcul du couple nécessaire et la vérification du rapport d’inertie ou du moment d’inertie admissible de la charge.Dans le cas d’un fonctionnement à vitesse variable, il est nécessaire de prendre en compte non seulement le couple en régime permanent, mais également les couples liés à l’accélération et à la décélération ; c’est pourquoi le respect de chaque étape permet de parvenir à un choix approprié.
Calcul du moment d’inertie de la charge et du couple nécessaire
Le calcul du moment d’inertie de la charge et du couple nécessaire constitue la première étape du choix d’un moteur. Pour déterminer le moment d’inertie de la charge globale du mécanisme à entraîner, il convient de calculer les moments d’inertie des différents composants du mécanisme (poulies, tables, etc.) ainsi que celui de la charge transportée, puis de les additionner afin d’obtenir le moment d’inertie total de la charge JL.
Une fois le moment d’inertie à pleine charge JL déterminé, on calcule l’accélération angulaire α à partir du temps d’accélération et de la vitesse de rotation cible, puis on détermine le couple d’accélération à l’aide de la formule T = Jα. La somme du couple d’accélération et des couples de charge nécessaires en fonctionnement en régime permanent, tels que le couple de frottement, correspond au couple total requis pour le moteur.Dans le cadre d’un fonctionnement impliquant un démarrage et une accélération, il est nécessaire de prendre en compte non seulement le couple de charge, mais également le couple d’accélération pour calculer le couple requis.
Vérification du rapport d’inertie et garantie de la stabilité de contrôle
Le rapport d’inertie correspond au rapport entre le moment d’inertie de la charge et le moment d’inertie du rotor du moteur. Si ce rapport dépasse la plage recommandée pour le moteur, celui-ci risque de ne pas pouvoir suivre les commandes d’accélération, ce qui peut entraîner un déraillement ou une instabilité de fonctionnement.
Étant donné que le rapport d’inertie recommandé et la limite maximale du moment d’inertie admissible varient en fonction du type de moteur, il est essentiel, lors de la sélection, de vérifier les valeurs recommandées indiquées dans le catalogue ou la documentation technique du moteur concerné et de veiller à ce que ces valeurs restent dans les limites indiquées.
Même lorsque le couple d’accélération et de décélération est suffisant, un rapport d’inertie dépassant la plage recommandée peut entraîner un déraillement ou une instabilité de fonctionnement. En revanche, définir un coefficient de sécurité trop élevé conduit à une surdimensionnement, ce qui présente des inconvénients en termes de taille du moteur et de coût. Il convient donc de choisir une valeur comprise dans la plage appropriée en fonction de l’application.
Prise en charge de l’inertie de la charge grâce à l’utilisation de motoréducteurs
L’utilisation d’un motoréducteur constitue une solution efficace lorsque le couple d’inertie de la charge dépasse la valeur admissible du moteur.Grâce à l’utilisation d’un réducteur, le moment d’inertie sur l’arbre du moteur est réduit au carré du rapport de réduction, ce qui permet à un moteur de petite taille d’entraîner une charge importante. Par exemple, avec un rapport de réduction de 2, le moment d’inertie de la charge, rapporté à l’arbre du moteur, est égal à 1/4 de celui de la charge.
Toutefois, comme une augmentation du rapport de réduction entraîne une baisse de la vitesse de sortie du moteur, il est nécessaire de concevoir le système en tenant compte de l’équilibre avec la vitesse de rotation cible. Lorsque le moment d’inertie de la charge est important, l’intégration d’un mécanisme de réduction constitue également une option valable.
Il est nécessaire de vérifier les caractéristiques techniques et les conditions d’utilisation sur les pages produits des différents fabricants ou auprès de leurs services clientèle. C.I. Takiron propose des moteurs à engrenages composés de moteurs sans noyau ou de moteurs sans balais associés à un réducteur, et peut également vous proposer des configurations adaptées à vos applications et à vos exigences.
Résumé
Le moment d’inertie est une grandeur physique qui caractérise la facilité avec laquelle un corps en rotation peut être mis en mouvement ou arrêté ; il s’agit d’un élément directement lié au calcul du couple nécessaire et à la garantie de la stabilité de la commande lors de la conception d’un moteur.En suivant une procédure correcte, depuis la compréhension de la formule de base T = Jα jusqu’à l’utilisation des formules de calcul spécifiques à chaque forme géométrique, en passant par la vérification du rapport d’inertie et l’utilisation de motoréducteurs, il est possible de sélectionner le moteur le plus approprié.
Lors d’un fonctionnement impliquant des variations de vitesse de rotation, les couples d’accélération et de décélération augmentent en fonction de la valeur du moment d’inertie. Si vous rencontrez des difficultés pour concevoir ou choisir un moteur en tenant compte du moment d’inertie, n’hésitez pas à contacter C.I. Takiron.
Informations sur les produits et demandes de renseignements
Pour plus d’informations sur les micromoteurs de C.I. Takiron, veuillez consulter le site Web suivant.
- Site du produit : https://cik-ele.com/
- Moteurs sans noyau : https://cik-ele.com/products/list/coreless_motor/
- Moteurs sans balais: https://cik-ele.com/products/list/brushless_motor/
- Moteurs à engrenages : https://cik-ele.com/products/list/gearhead/
- Codeur : https://cik-ele.com/products/list/encoder/
Si vous rencontrez des difficultés pour choisir un petit moteur dans le cadre du développement de vos produits, n’hésitez pas à nous contacter via le formulaire de contact. Nos techniciens vous écouteront pour comprendre votre application et vos exigences, et vous proposeront la solution la mieux adaptée.
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