Il momento d’inerzia è una grandezza fisica che indica la “facilità di rotazione” o la “difficoltà di arresto” di un corpo rotante ed è un elemento fondamentale nei calcoli di progettazione dei motori. Quando si sceglie un motore, è necessario calcolare correttamente il momento d’inerzia del carico e stimare la coppia necessaria e le prestazioni di accelerazione e decelerazione.
Se si commette un errore nella stima del momento d’inerzia, a seconda del tipo di motore e delle condizioni, ciò potrebbe causare overshoot o undershoot in fase di avvio e arresto, instabilità del controllo o persino l’impossibilità di far funzionare il motore.
In questo articolo spiegheremo passo dopo passo tutto ciò che c’è da sapere: dalla definizione di base del momento d’inerzia e dalla relazione con la coppia, alle formule di calcolo per le forme più comuni, fino ai punti da considerare nella scelta del motore. Se sei un ingegnere che si occupa di progettazione di motori o sviluppo di apparecchiature, speriamo che questo articolo ti sia d’aiuto.
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Nozioni di base sul momento d’inerzia e relazione con la coppia
Ti spiego la definizione, le formule e le unità di misura del momento d’inerzia, mettendolo a confronto con il moto rettilineo.
Cosa tratteremo in questa sezione
- Definizione del momento d’inerzia nel moto rotatorio
- Relazione tra coppia e accelerazione angolare
- La differenza tra le unità kg·m² e GD²
Il momento di inerzia J (che nella letteratura scientifica a volte viene indicato con la lettera I, ma in questo articolo useremo sempre la J) è una grandezza fisica che indica quanto sia difficile far ruotare o fermare un corpo rotante. È l’equivalente della massa nel moto rettilineo e, nel moto rotatorio, viene descritto dall’equazione che collega il momento di inerzia alla coppia e all’accelerazione angolare.
Nei calcoli di progettazione dei motori, conoscere con precisione questo valore è il punto di partenza per calcolare la coppia necessaria e scegliere il motore giusto.
Definizione del momento d’inerzia nel moto rotatorio
Il momento d’inerzia in un movimento rotatorio si definisce come la somma dei prodotti tra la massa M di ciascuna particella e il quadrato della distanza R dall’asse di rotazione. La formula di base è J = MR², e anche se la massa M è la stessa, più la massa si concentra in punti lontani dall’asse di rotazione, più il valore aumenta.
Nel moto rettilineo vale la regola che “più grande è la massa, più è difficile muoverla”, mentre nel moto rotatorio è il momento di inerzia a svolgere lo stesso ruolo.Più è grande il momento d’inerzia di un corpo rotante, maggiore è la coppia necessaria per avviarne o arrestarne la rotazione. Nei sistemi di particelle, si esprime con J = ΣMiRi², mentre nei continui con J = ∫R²dm; nella pratica, però, di solito si usano formule già derivate specifiche per ogni forma.
Più la massa è concentrata lontano dall’asse di rotazione, maggiore è il valore del momento di inerzia. Ad esempio, se il diametro di un disco di massa uguale raddoppia, il momento di inerzia quadruplica.
Nel movimento rettilineo vale la regola “più la massa è grande, più è difficile muoverla”, mentre nel movimento rotatorio è il momento di inerzia a determinare la difficoltà di rotazione. Nella scelta del motore, il punto di partenza della progettazione è il calcolo corretto del momento di inerzia in base alla forma e alla distribuzione della massa dell’oggetto da azionare.
Relazione tra coppia e accelerazione angolare
La relazione tra coppia e accelerazione angolare è espressa dall’equazione del moto rotatorio
T=Jα (T: coppia [N·m], J: momento d’inerzia [kg·m²], α: accelerazione angolare [rad/s²])
.
Si tratta di un’equazione che sostituisce, rispetto all’equazione del moto rettilineo
F=Ma
, rispettivamente la forza (F) con la coppia (T), la massa (M) con il momento di inerzia (J) e l’accelerazione (a) con l’accelerazione angolare (α).
Da questa formula si capisce che maggiore è il momento d’inerzia, maggiore sarà la coppia necessaria per ottenere la stessa accelerazione angolare. Ad esempio, per accelerare in lo stesso tempo un corpo rotante con un momento d’inerzia doppio, serve una coppia doppia.
Per stimare la coppia necessaria durante l’accelerazione e la decelerazione del motore, la comprensione della formula T=Jα è fondamentale per i calcoli di progettazione. Capire bene il momento d’inerzia del carico e calcolare la coppia necessaria con questa formula ti aiuterà a scegliere il motore giusto.
La differenza tra le unità kg·m² e GD²
Facciamo un po’ di chiarezza sulla differenza tra le unità kg·m² e GD². Nei documenti tecnici dei motori, il momento d’inerzia può essere espresso sia nel sistema internazionale (SI) con J (kg·m²), sia nel sistema delle unità di gravità con GD² (kgf·m²).
| Voce | kg·m² (Sistema Internazionale) | GD² (sistema di unità di misura gravitazionale) |
| Simboli | J | GD² |
| Formula di definizione | J = M × R² | GD² = W × D² |
| Unità | kg·m² | kgf·m² |
| Relazione di conversione | J = GD²/4 | GD² = 4J |
| Contesti di utilizzo | Documentazione tecnica attuale in generale | I vecchi cataloghi dei motori |
Il GD² è noto anche come “effetto volano” ed è un’unità di misura che un tempo veniva ampiamente utilizzata nei calcoli di progettazione dei motori. Oggi lo standard è il kg·m² del Sistema Internazionale di Unità di Misura (SI), ma nei cataloghi dei produttori di motori a volte si trovano entrambe le unità.Se durante la scelta si sbaglia l’unità di misura, nei risultati dei calcoli si verifica un errore quadruplo; per questo è fondamentale applicare correttamente la formula di conversione J = GD²/4.
Formule per il calcolo del momento d’inerzia e come calcolarlo in base alla forma
Il momento d’inerzia si calcola in teoria tramite integrazione, ma nella pratica si usa di solito una formula già derivata in base alla forma specifica.
Cosa tratteremo in questa sezione
- Calcolo del momento d’inerzia di un cilindro e di un disco
- Calcolo del momento d’inerzia di barre e parallelepipedi
- Procedura di calcolo relativa all’albero motore, compreso il meccanismo di riduzione della velocità
Per i solidi di rotazione più comuni, come cilindri, dischi, barre e parallelepipedi, ci sono delle formule specifiche; basta conoscere la massa, le dimensioni e la posizione dell’asse di rotazione dell’oggetto per calcolare il risultato.
Inoltre, nei sistemi meccanici reali, come i nastri trasportatori o i meccanismi di riduzione, è necessario anche calcolare la somma dei momenti d’inerzia dei vari elementi rotanti e convertirla in un valore relativo all’albero del motore.
Calcolo del momento d’inerzia di un cilindro e di un disco
Il momento d’inerzia di un cilindro e di un disco viene utilizzato per i calcoli relativi al rotore di un motore o a componenti di forma cilindrica. Se conosci la massa M e il diametro D (e il diametro interno d), puoi calcolarlo con la formula seguente.
| Forma | Formula di calcolo | Esempi di applicazione |
| Cilindro pieno (disco) | J = 1/8 × M × D² | Rotore, volano |
| Cilindro cavo | J=1/8×M×(D²+d²) | Giunti, tubi |
A titolo di esempio di calcolo, per un componente cilindrico cavo con massa M = 0,5 kg, diametro esterno D = 60 mm (0,06 m) e diametro interno d = 30 mm (0,03 m), si ottiene che J = 1/8 × 0,5 × (0,06² + 0,03²)= 1/8 × 0,5 × 0,0045 ≈ 2,8 × 10⁻⁴ kg·m².
Queste formule vengono usate per calcolare il momento d’inerzia di componenti di forma cilindrica, come rotori e giunti.
Calcolo del momento d’inerzia di barre e parallelepipedi
Il momento d’inerzia di un’asta o di un parallelepipedo è necessario quando si calcolano componenti di forma cilindrica o parallelepipeda presenti in meccanismi rotanti, come bracci o cursori. Il momento d’inerzia di un’asta varia a seconda della posizione dell’asse di rotazione; a seconda di questo, si utilizzano le due formule seguenti.
[Formula del momento d’inerzia di un’asta]
- Se si prende l’estremità come asse di rotazione: J = 1/3 × M × L²
- Se si considera il centro come asse di rotazione: J = 1/12 × M × L²
Se si prende come riferimento l’estremità, il valore risulta quattro volte maggiore. Nei casi in cui il centro di rotazione e il baricentro del componente non coincidono, come ad esempio nelle articolazioni dei bracci robotici, è necessario capire esattamente dove è impostato l’asse di rotazione del meccanismo per scegliere la formula giusta.
Procedura di calcolo relativa all’albero motore, compreso il meccanismo di riduzione della velocità
Il calcolo del momento d’inerzia del carico convertito sull’asse del motore, che include il meccanismo di riduzione, è necessario nei sistemi meccanici in cui tra il motore e il carico è presente un riduttore.La formula per convertire il momento d’inerzia del carico in quello sull’asse del motore è Jm = JL/i² (Jm: momento d’inerzia del carico convertito sull’asse del motore, JL: momento d’inerzia del carico, i: rapporto di riduzione).
Ad esempio, se il momento d’inerzia del carico è 1,0×10⁻³ kg·m² e il rapporto di riduzione è 2, il valore riferito all’albero del motore è Jm = 1,0×10⁻³/4 = 2,5×10⁻⁴ kg·m².Quando il rapporto di riduzione è 2, il valore del momento d’inerzia del carico, convertito sull’asse del motore, è pari a 1/4 di quello sul lato del carico.Tieni presente che la definizione del rapporto di riduzione i varia a seconda del produttore, quindi sia Jm = JL / i² che Jm = JL × i² rappresentano lo stesso concetto espresso in modi diversi. È importante prestare attenzione al riferimento utilizzato per il rapporto di riduzione i.
È necessario verificare i valori del rapporto di riduzione in ogni singolo catalogo e applicare le formule di conversione in base alle definizioni fornite da ciascun produttore.
I 3 passaggi per scegliere un motore tenendo conto del momento d’inerzia
Dopo aver calcolato correttamente il valore del momento d’inerzia, si passa alla fase di selezione del motore in base a tale valore.
Cosa tratteremo in questa sezione
- Calcolo del momento d’inerzia del carico e della coppia necessaria
- Verifica del rapporto di inerzia e garanzia della stabilità di controllo
- Gestione dell’inerzia del carico grazie all’uso di motoriduttori
Per scegliere il motore giusto, devi seguire in ordine questi tre passaggi: calcolare il momento d’inerzia del carico, calcolare la coppia necessaria e verificare il rapporto di inerzia o il momento d’inerzia ammissibile del carico.Nel funzionamento con variazioni di velocità, oltre alla coppia in regime stazionario bisogna considerare anche la coppia associata all’accelerazione e alla decelerazione; seguire questi passaggi in ordine ti aiuterà a scegliere il motore giusto.
Calcolo del momento d’inerzia del carico e della coppia necessaria
Il calcolo del momento d’inerzia del carico e della coppia necessaria è il primo passo nella scelta del motore. Per determinare il momento d’inerzia complessivo del meccanismo da azionare, bisogna calcolare i momenti d’inerzia dei singoli componenti del meccanismo (pulegge, tavole, ecc.) e del carico, e poi sommarli per ottenere il momento d’inerzia totale JL.
Una volta calcolato il momento d’inerzia a pieno carico JL, si calcola l’accelerazione angolare α in base al tempo di accelerazione e al numero di giri target, e si determina la coppia di accelerazione con la formula T = Jα. La coppia totale richiesta al motore è data dalla somma della coppia di accelerazione e delle coppie di carico necessarie durante il funzionamento in regime stazionario, come la coppia di attrito.Nel funzionamento che prevede avviamento e accelerazione, per calcolare la coppia necessaria devi tenere conto sia della coppia di carico che della coppia di accelerazione.
Verifica del rapporto di inerzia e garanzia della stabilità di controllo
Il rapporto di inerzia è il valore ottenuto dividendo il momento d’inerzia del carico per il momento d’inerzia del rotore del motore. Se questo rapporto supera l’intervallo consigliato per il motore, c’è il rischio che non riesca a seguire i comandi di accelerazione, causando sincronizzazione errata o instabilità di funzionamento.
A seconda del tipo di motore, il rapporto di inerzia raccomandato e il limite massimo del momento d’inerzia ammissibile variano; pertanto, al momento della scelta, è fondamentale verificare i valori raccomandati riportati nel catalogo o nella documentazione tecnica del motore che intendi utilizzare e assicurarti che i valori rientrino in tali limiti.
Anche se c’è un margine sufficiente nella coppia di accelerazione e decelerazione, se il rapporto di inerzia supera l’intervallo raccomandato, si rischia di causare perdite di sincronismo o instabilità di funzionamento. D’altra parte, se imposti un fattore di sicurezza troppo alto, si crea un sovradimensionamento, il che comporta svantaggi in termini di dimensioni del motore e di costi. È quindi importante scegliere un intervallo adeguato in base all’applicazione.
Come gestire l’inerzia del carico grazie all’uso dei motoriduttori
L’uso dei motoriduttori è una soluzione efficace quando il momento d’inerzia del carico supera il valore ammesso dal motore.Grazie al riduttore, il momento d’inerzia sull’albero del motore si riduce in proporzione al quadrato del rapporto di riduzione, consentendo così anche a motori di piccole dimensioni di azionare carichi pesanti. Ad esempio, con un rapporto di riduzione pari a 2, il momento d’inerzia del carico, calcolato sull’albero del motore, diventa pari a 1/4 di quello sul lato del carico.
Tuttavia, aumentando il rapporto di riduzione, la velocità di uscita del motore diminuisce, quindi è necessario progettare il sistema tenendo conto dell’equilibrio con la velocità desiderata. Se il momento di inerzia del carico è elevato, un’opzione valida è quella di integrare un meccanismo di riduzione.
È necessario verificare le specifiche tecniche e le condizioni di utilizzo sulle pagine dei prodotti dei rispettivi produttori o contattando i loro servizi di assistenza. C.I. Takiron offre motoriduttori costituiti da motori senza nucleo o motori brushless abbinati a riduttori, e può anche proporti configurazioni su misura in base alle tue esigenze e ai tuoi requisiti.
Riepilogo
Il momento d’inerzia è una grandezza fisica che indica la facilità con cui un corpo rotante può essere messo in rotazione o fermato, ed è un elemento fondamentale nei calcoli di progettazione dei motori per determinare la coppia necessaria e garantire la stabilità di controllo.Partendo dalla comprensione della formula di base T=Jα, passando per l’utilizzo delle formule di calcolo specifiche per le diverse forme geometriche, fino alla verifica del rapporto di inerzia e all’impiego dei motoriduttori: seguendo la procedura corretta, è possibile scegliere il motore più adatto.
Quando si varia la velocità di rotazione, la coppia di accelerazione e quella di decelerazione aumentano in base al valore del momento d’inerzia. Se hai dubbi sulla progettazione o sulla scelta di un motore che tenga conto del momento d’inerzia, non esitare a rivolgerti a C.I. Takiron.
Informazioni sui prodotti e richieste di informazioni
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